បញ្ហា (The Problem)៖ ឯកសារនេះដោះស្រាយបញ្ហានៃការធ្វើអាំងតេក្រាលក្នុងតួបញ្ចាំង (Integration in finite terms) ដោយស្វែងរកថាតើពេលណាដែលចម្លើយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលអាចត្រូវបានសរសេរចេញជាទម្រង់ពិសេស។
វិធីសាស្ត្រ (The Methodology)៖ ការសិក្សានេះប្រើប្រាស់ទ្រឹស្តីដែនឌីផេរ៉ង់ស្យែល (Differential field theory) និងពង្រីកទ្រឹស្តីបទ Liouville ដើម្បីបង្កើតថ្នាក់ថ្មីនៃដែនមួយហៅថា ការពង្រីក Ei (Ei extension)។
លទ្ធផលសំខាន់ៗ (The Verdict)៖
| វិធីសាស្ត្រ (Method) | គុណសម្បត្តិ (Pros) | គុណវិបត្តិ (Cons) | លទ្ធផលគន្លឹះ (Key Result) |
|---|---|---|---|
| Elementary Extension (Traditional Liouville's Integration) ការពង្រីកមូលដ្ឋាន (ការធ្វើអាំងតេក្រាលតាមទ្រឹស្តីបទ Liouville ចាស់) |
ជាមូលដ្ឋានគ្រឹះដ៏រឹងមាំ និងមានភាពងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តលើអនុគមន៍មូលដ្ឋានធម្មតា (Elementary functions) ដូចជា លោការីត និង អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។ | មានដែនកំណត់ ដោយមិនអាចដោះស្រាយ ឬបញ្ជាក់ភាពអាចធ្វើអាំងតេក្រាលបាននៃអនុគមន៍ដែលមានផ្ទុកអាំងតេក្រាលអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល (ឧ. អាំងតេក្រាលនៃ e^x / x) បានឡើយ។ | បង្កើតបានជាទ្រឹស្តីបទមូលដ្ឋានសម្រាប់បញ្ជាក់ថាអនុគមន៍មួយអាចសរសេរជាទម្រង់អាំងតេក្រាលបានឬអត់ក្នុងកម្រិតធម្មតា។ |
| Ei Extension (Proposed Generalized Method) ការពង្រីក Ei (វិធីសាស្ត្រទូទៅកម្មដែលស្នើឡើងក្នុងឯកសារ) |
ពង្រីកវិសាលភាពនៃការដោះស្រាយ ដោយរួមបញ្ចូលទាំងការពង្រីកមូលដ្ឋាន និង អាំងតេក្រាលអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល (Exponential integral) ទៅក្នុងថ្នាក់នៃដែនឌីផេរ៉ង់ស្យែលតែមួយ។ | ទាមទារការវិភាគពិជគណិតកាន់តែស្មុគស្មាញ និងត្រូវការលក្ខខណ្ឌតឹងរ៉ឹង (Sufficient conditions) ដើម្បីបញ្ជាក់ភាពអាចធ្វើអាំងតេក្រាលបាន។ | បានបង្កើតទ្រឹស្តីបទថ្មី (Theorem 3.4) ដែលផ្តល់លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់កំណត់ថាអនុគមន៍ជាក់លាក់មួយអាចធ្វើអាំងតេក្រាលក្នុងតួបញ្ចាំង (Ei integrable) បាន។ |
ការចំណាយលើធនធាន (Resource Cost)៖ ឯកសារនេះមិនបានបញ្ជាក់ពីតម្រូវការធនធានកុំព្យូទ័រ ឬហិរញ្ញវត្ថុជាក់លាក់នោះទេ ដោយសារវាជាការស្រាវជ្រាវបែបទ្រឹស្តីគណិតវិទ្យាសុទ្ធសាធ។ ប៉ុន្តែវាទាមទារធនធានបញ្ញាខ្ពស់។
ការសិក្សានេះគឺជាការស្រាវជ្រាវផ្នែកគណិតវិទ្យាទ្រឹស្តីសុទ្ធសាធ (Pure Mathematics) ដែលមិនប្រើប្រាស់សំណុំទិន្នន័យជាក់ស្តែង ឬសំណាកមនុស្សឡើយ។ ដូច្នេះ វាគ្មានបញ្ហាលម្អៀងទិន្នន័យ (Data bias) ទេ ហើយទ្រឹស្តីនេះអាចអនុវត្តបានជាសកលដោយផ្អែកលើតក្កវិទ្យា រួមទាំងសម្រាប់ការស្រាវជ្រាវនៅប្រទេសកម្ពុជាផងដែរ។
ទោះបីជាវាជាទ្រឹស្តីអរូបីកម្រិតខ្ពស់ ប៉ុន្តែវាមានប្រយោជន៍យ៉ាងខ្លាំងសម្រាប់ការអភិវឌ្ឍវិស័យអប់រំ និងការស្រាវជ្រាវផ្នែកគណិតវិទ្យានៅកម្ពុជា។
ជារួម ការសិក្សានេះជួយពង្រឹងមូលដ្ឋានគ្រឹះទ្រឹស្តីគណិតវិទ្យាដល់អ្នកស្រាវជ្រាវកម្ពុជា ដែលជាស្ពានដ៏សំខាន់ឆ្ពោះទៅរកការអភិវឌ្ឍបច្ចេកវិទ្យានិងវិទ្យាសាស្ត្រទំនើបកម្រិតខ្ពស់។
ដើម្បីអនុវត្តតាមការសិក្សានេះ និស្សិតគួរអនុវត្តតាមជំហានខាងក្រោម៖
| ពាក្យបច្ចេកទេស | ការពន្យល់ជាខេមរភាសា (Khmer Explanation) | និយមន័យសាមញ្ញ (Simple Definition) |
|---|---|---|
| Differential field (ដែនឌីផេរ៉ង់ស្យែល) | ជាទម្រង់រចនាសម្ព័ន្ធពិជគណិតមួយ (field) ដែលក្រៅពីមានប្រតិបត្តិការបូក ដក គុណ ចែក វាមានបន្ថែមនូវប្រតិបត្តិការ "ដេរីវេ" (derivation) មួយទៀត ដែលអនុលោមតាមច្បាប់ដេរីវេនៃផលបូក និងផលគុណដូចក្នុងគណិតវិទ្យាវិភាគ។ វាជាមូលដ្ឋានគ្រឹះសម្រាប់ការសិក្សាពីភាពអាចធ្វើអាំងតេក្រាលបានតាមបែបពិជគណិត។ | ដូចជាសួនកុមារមួយដែលមានច្បាប់លេងបូកនិងគុណ ហើយថែមទាំងមានច្បាប់ "បំប្លែង" មួយទៀតហៅថាដេរីវេ ដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងរកល្បឿននៃការប្រែប្រួលរបស់វត្ថុណាមួយក្នុងសួននោះ។ |
| Liouville's theorem (ទ្រឹស្តីបទ Liouville) | ជាទ្រឹស្តីបទគណិតវិទ្យាដែលកំណត់លក្ខខណ្ឌពិជគណិតយ៉ាងច្បាស់លាស់ថា តើពេលណាអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍មួយអាច ឬមិនអាចសរសេរចេញជាទម្រង់នៃអនុគមន៍បឋម (ដូចជា ពហុធា, អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល, និងលោការីត) បាន។ វាបញ្ជាក់ប្រាប់យើងថាហេតុអ្វីបានជាអាំងតេក្រាលខ្លះមិនមានចម្លើយសាមញ្ញ។ | ដូចជាបញ្ជីរាយនាមវត្ថុធាតុដើមដែលអាចប្រាប់យើងដឹងមុនថា តើមុខម្ហូបមួយអាចចម្អិនដោយប្រើតែគ្រឿងទេសធម្មតាៗដែលមានក្នុងផ្ទះបាយបានឬអត់។ |
| Elementary extension (ការពង្រីកមូលដ្ឋាន) | ដំណើរការនៃការពង្រីកដែនឌីផេរ៉ង់ស្យែលដើម ដោយការបន្តបន្ថែមនូវធាតុថ្មីៗដែលបានមកពីការធ្វើអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល, លោការីត, ឬការដោះស្រាយសមីការពិជគណិត (algebraic equations) ទៅលើធាតុដែលមានស្រាប់នៅក្នុងដែននោះ។ | ដូចជាការដំឡើងជំនាន់ (Upgrade) ប្រព័ន្ធទូរស័ព្ទរបស់អ្នកដោយបន្ថែមតែកម្មវិធីស្តង់ដារ (កម្មវិធីគិតលេខ សៀវភៅកំណត់ហេតុ) ដែលនៅតែដំណើរការផ្អែកលើមុខងារចាស់ៗ។ |
| Exponential integral (អាំងតេក្រាលអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល) | ជាប្រភេទនៃអនុគមន៍ពិសេសមួយ ដែលកំណត់ដោយអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ e^x / x (ឬទម្រង់ស្រដៀងគ្នានេះ) ដែលត្រូវបានគេបង្ហាញថា មិនអាចធ្វើអាំងតេក្រាល និងសរសេរជាទម្រង់អនុគមន៍បឋម (elementary functions) ធម្មតាបានឡើយ។ | ដូចជារូបិយប័ណ្ណបរទេសដែលអ្នកមិនអាចចាយផ្ទាល់នៅផ្សារក្បែរផ្ទះបាន លុះត្រាតែអ្នកត្រូវប្តូរវាតាមរយៈប្រព័ន្ធធនាគារពិសេសមួយ។ |
| Ei extension (ការពង្រីក Ei) | ជាគំនិតផ្តួចផ្តើមថ្មីដែលបង្កើតឡើងដោយអ្នកស្រាវជ្រាវក្នុងឯកសារនេះ ដើម្បីពង្រីកទំហំនៃ "ការពង្រីកមូលដ្ឋាន" ឱ្យកាន់តែធំ ដោយអនុញ្ញាតឱ្យមានការរួមបញ្ចូលនូវប្រភេទអនុគមន៍អាំងតេក្រាលអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល (Ei) ជាផ្នែកមួយនៃចម្លើយដែលអាចទទួលយកបាន។ | ដូចជាការបើកច្រកទ្វារគយថ្មីមួយដើម្បីអនុញ្ញាតឱ្យមានការនាំចូលទំនិញប្រភេទថ្មី ដែលពីមុនត្រូវបានគេចាត់ទុកថាជាទំនិញមិនស្ថិតក្នុងបញ្ជីស្តង់ដារធម្មតា។ |
| Transcendental extension (ការពង្រីកត្រង់សង់ដង់) | ការពង្រីកដែនគណិតវិទ្យាដោយការបន្ថែមធាតុថ្មីមួយ ដែលធាតុថ្មីនោះមិនមែនជាឫសនៃសមីការពហុធាណាមួយ ដែលមានមេគុណនៅក្នុងដែនដើមនោះឡើយ (ឧទាហរណ៍ ការបន្ថែមចំនួន e ឬ pi ទៅក្នុងសំណុំចំនួនសនិទាន)។ | ដូចជាការបង្កើតពណ៌ថ្មីស្រឡាងមួយ ដែលមិនអាចផ្សំឡើងតាមរយៈការលាយពណ៌គោលណាៗទាំងអស់ដែលមានស្រាប់ក្នុងប្រអប់ពណ៌របស់អ្នកទាល់តែសោះ។ |
ប្រធានបទ និងសំណួរស្រាវជ្រាវដែលទាក់ទងនឹងឯកសារនេះ ដែលអ្នកអាចស្វែងរកបន្ថែម៖
